Fraktional Brownsche Bewegungs Gleitender Durchschnitt

Starke Annäherung der fraktionalen Brownschen Bewegung durch bewegte Durchschnitte von einfachen zufälligen Spaziergängen Pl Rvsz anlässlich seines 65. Geburtstages Tams Szabados Abteilung für Mathematik, Technische Universität Budapest, Egry u 20-22, H p. V em. Budapest, 1521, Ungarn Erhalten am 19. Dezember 1999. Überarbeitet am 29. August 2000. Akzeptiert am 4. September 2000. Verfügbar online 9. Februar 2001. Der fraktionierte Brownsche Antrag ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung, die vor allem dann eingesetzt wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit erforderlich ist. Seine explizite Einführung ist auf Mandelbrot und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlicher Gaußscher Prozess W (H) (t) mit stationären Inkrementen zurückzuführen. Hier bedeutet Selbst-Ähnlichkeit, dass, wo H (0,1) der Hurst-Parameter der fraktionalen Brownschen Bewegung ist. F. B. Ritter gab einen Bau von gewöhnlichen Brownschen Bewegungen als eine Grenze von einfachen zufälligen Spaziergängen im Jahr 1961. Später wurde seine Methode von Rvsz (Random Walk in Random und Non-Random Umgebungen, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung. 31 (1996) 249297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solcher auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Darauf auf diese Weise verwenden wir gleitende Durchschnitte einer geeigneten verschachtelten Folge von einfachen zufälligen Spaziergängen, die fast sicher einheitlich zu einer fraktionalen Brownschen Bewegung auf kompakten konvergieren, wenn. Die Konvergenzrate ist in diesem Fall bewiesen, wobei N die Anzahl der für die Approximation verwendeten Schritte ist. Wenn die genauer (aber auch komplizierter) Komls et al. (1975,1976) Näherung wird stattdessen verwendet, um zufällige Spaziergänge in gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann die gleiche Art von sich bewegenden Mitteln fast sicher einheitlich konvergieren auf fraktionale Brownsche Bewegung auf Kompakt für jedes H (0,1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als bestmöglich vermutet, wenn auch hier nur bewiesen wird. Fraktionale Brownsche Bewegung Pathwise-Konstruktion Starke Annäherung Zufälliger Spaziergang Gleitender Durchschnitt 1 Fraktionale Brownsche Bewegung Die fraktionale Brownsche Bewegung (fBM) ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung (BM), die besonders verwendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit von wesentlicher Bedeutung ist. Obwohl die Geschichte von fBM nach Kolmogorov (1940) und anderen zurückverfolgt werden kann, ist ihre ausdrückliche Einführung auf Mandelbrot und van Ness (1968) zurückzuführen. Ihre Absicht war, ein Selbst-ähnliches zu definieren. Zentrierten Gaußschen Prozess mit stationären, aber nicht unabhängigen Inkrementen und mit kontinuierlichen Probenpfaden a. s. Hier bedeutet Selbst-Ähnlichkeit, dass für irgendeine gt0, wobei H (0,1) der Hurst-Parameter des fBM ist und die Gleichheit in der Verteilung bezeichnet. Sie zeigten, dass diese Eigenschaften fBM charakterisieren. Der Fall reduziert sich auf gewöhnliche BM mit unabhängigen Inkrementen, während die Fälle (bzw.) negativ (bzw. positiv) korrelierte Inkremente geben, siehe Mandelbrot und van Ness (1968). Es scheint, dass bei den Anwendungen von fBM der Fall am häufigsten verwendet wird. Mandelbrot und van Ness (1968) gaben die folgende explizite Darstellung von fBM als gleitenden Durchschnitt von gewöhnlichem, aber zweiseitigem BM: wobei t 0 und (x) max (x, 0). Die Idee von (2) bezieht sich auf deterministische Bruchrechnung. Die eine noch längere Geschichte hat als fBM, zurück zu Liouville, Riemann, und andere sehen in Samko et al. (1993). Sein einfachster Fall ist, wenn eine stetige Funktion f und eine positive ganze Zahl gegeben sind. Dann kann eine Induktion mit Integration durch Teile zeigen, dass die Reihenfolge Iteration antiderivative (oder Ordnung Integral) von f ist. Auf der anderen Seite ist dieses Integral auch für nicht-ganzzahlige positive Werte gut definiert, wobei es in diesem Fall ein Bruch-Integral von f genannt werden kann. Also, heuristisch, der Hauptteil von (2), ist das Ordnungsintegral des (im gewöhnlichen Sinn nicht existierenden) weißen Rauschprozesses W (t). Somit kann das fBM W (H) (t) als eine stationäre Inkrement-Modifikation des fraktionalen Integrals W (t) des Weißrauschprozesses betrachtet werden. 2 Random Walk Bauweise der gewöhnlichen Brown'sche Bewegung Es ist interessant, dass eine sehr natürliche und elementare Konstruktion des gewöhnlichen BM als Grenze der zufälligen Spaziergänge (RWs) relativ spät erschien. Die mathematische Theorie von BM begann um 1900 mit den Werken von Bachelier, Einstein, Smoluchowski und anderen. Die erste Existenzkonstruktion wurde von Wiener 1921 und Wiener 1923 gegeben, dem später noch einige andere folgen. Ritter (1961) führte die erste Konstruktion durch zufällige Spaziergänge ein, die später von Rvsz (1990) vereinfacht wurden. Der jetzige Autor war glücklich genug, diese Version des Baues direkt aus Pl Rvsz in einem Seminar an der Technischen Universität Budapest zu hören, ein paar Jahre vor der Veröffentlichung des Buches von Rvszs im Jahr 1990 und wurde sofort davon fasziniert. Das Ergebnis einer Anstrengung zur weiteren Vereinfachung erschien in Szabados (1996). Von nun an bezieht sich der Ausdruck RW-Konstruktion immer auf die im letzteren erörterte Version. Es ist asymptotisch gleichbedeutend mit der Anwendung von Skorohod (1965) Einbettung, um eine verschachtelte dyadische Sequenz von RWs in BM zu finden, siehe Theorem 4 in Szabados (1996). Als solches hat es einige Vor - und Nachteile im Vergleich zu der gefeierten bestmöglichen Näherung von BM von Teilsummen von Zufallsvariablen mit Momentgeneratorfunktion endlich um den Ursprung. Letzteres wurde von Komls 1975 und Komls 1976 erhalten und wird in der Folge als KMT-Näherung abgekürzt. Die Hauptvorteile der RW-Konstruktion sind, dass es elementar, explizit ist, nur vergangene Werte verwendet, um neue zu konstruieren, in der Praxis einfach zu implementieren und sehr gut geeignet für die Annäherung von stochastischen Integralen, siehe Theorem 6 in Szabados (1996) und auch Szabados ( 1990). Erinnern Sie sich, dass die KMT-Näherung Teilsummen (z. B. eine einfache symmetrische RW) aus BM selbst (oder aus einer i. i.d.-Folge von Standard-Normal-Zufallsvariablen) durch eine komplizierte Folge von bedingten Quantil-Transformationen konstruiert. Um einen neuen Wert zu konstruieren, verwendet er die ganze Sequenz (vergangene und zukünftige Werte). Auf der anderen Seite ist die Hauptschwäche des RW-Aufbaus, dass es eine Konvergenzrate gibt, während die Rate der KMT-Näherung am besten ist, wobei N die Anzahl der im RW berücksichtigten Schritte (Begriffe) ist. In der Folge werden zunächst die Haupteigenschaften der oben erwähnten RW-Konstruktion zusammengefasst. Dann wird diese RW-Konstruktion verwendet, um eine Annäherung ähnlich (2) von fBM zu definieren, indem man die Mittelwerte der RW bewegt. Die Konvergenz und der Fehler dieser Näherung werden als nächstes diskutiert. Als Folge der relativ schwächeren Annäherungseigenschaften der RW-Konstruktion wird die Konvergenz zu fBM nur für etabliert, und die Konvergenzrate ist auch nicht die bestmögliche. Um dies zu kompensieren, diskutieren wir am Ende des Aufsatzes die Konvergenz - und Fehlereigenschaften einer ähnlichen Konstruktion von fBM, die stattdessen die KMT-Approximation verwendet, die für alle H (0,1) konvergiert und deren Konvergenzrate vermutet werden kann Das bestmögliche bei der Annäherung von fBM durch bewegte Mittelwerte von RWs. Die hier zusammengefasste RW-Konstruktion von BM stammt aus Szabados (1996). Wir beginnen mit einer unendlichen Matrix von i. i.d. Zufallsvariablen X m (k), die auf demselben zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Jede Zeile dieser Matrix ist eine Basis für eine Annäherung von BM mit einer bestimmten dyadischen Schrittweite t 2 2 m in der Zeit und einer entsprechenden Schrittweite x 2 m im Raum, dargestellt durch die nächste Tabelle. Der zweite Schritt der Konstruktion ist verdreht. Aus den unabhängigen zufälligen Spaziergängen (d. H. Aus den Zeilen der Tabelle 1) wollen wir abhängige, so dass nach dem Schrumpfen der zeitlichen und räumlichen Schrittgrößen jede aufeinanderfolgende RW eine Verfeinerung der vorherigen wird. Da die räumliche Einheit in jeder aufeinanderfolgenden Zeile halbiert wird, definieren wir Stoppzeiten um T m (0) 0 und für k 0. Dies sind die zufälligen Zeitpunkte, wenn ein RW sogar ganze Zahlen nennt, die sich von dem vorherigen unterscheiden. Nachdem die räumliche Einheit um die Hälfte geschrumpft ist, wird eine geeignete Modifikation dieser RW dieselben Ganzzahlen in der gleichen Reihenfolge wie die vorherige RW besuchen. (Dies ist, was wir eine Verfeinerung nennen). Wir werden hier an jedem Punkt des Probenraums separat arbeiten, dh wir fixieren einen Probenpfad jeder RW, die in Tabelle 1 auftritt. Somit ist jede Brücke S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) muss den entsprechenden Schritt X m 1 (k 1) des vorherigen RW nachahmen. Wir definieren verdrehte RWs rekursiv für m 1,2,3, beginnend mit (n 0). Bei jedem festen m gehen wir für k 0,1,2 nacheinander und für jedes n in der entsprechenden Brücke T m (k) lt n T m (k 1). Jede Brücke wird umgedreht, wenn sich ihr Vorzeichen von dem gewünschten unterscheidet (Abb. 1. Abb. 2 und Abb. 3): und dann. Dann ist jeder (n 0) noch ein einfacher, symmetrischer RW siehe Lemma 1 in Szabados (1996). Darüber hinaus haben die verdrehten RWs die gewünschte Verfeinerungseigenschaft: Der letzte Schritt der RW-Konstruktion schrumpft. Die Probenpfade von (n 0) können durch lineare Interpolation auf kontinuierliche Funktionen erweitert werden. Auf diese Weise bekommt man (t 0) für echtes t. Dann definieren wir die m-te Näherung von BM (siehe Abb. 4) durch Vergleich von drei Schritten eines Sample-Pfades der ersten Näherung B 0 (t) und des entsprechenden Teils der zweiten Näherung B 1 (t) in Abb. 1 und Fig. 4. Die zweite besucht dieselben ganzzahligen (anders als die vorherige) in der gleichen Reihenfolge wie die erste, also imitiert die erste, aber die entsprechenden zeitzeitpunkte unterscheiden sich im allgemeinen: 2 2 T 1 (k) k. Ähnlich, (3) impliziert die allgemeine Verfeinerungseigenschaft, aber es gibt eine zeitliche Verzögerung im Allgemeinen. Die Grundidee der RW-Konstruktion von BM ist, dass diese Zeitverzögerungen gleichmäßig klein werden, wenn m groß genug ist. Es kann durch das folgende einfache Lemma nachgewiesen werden. Tabelle 1. Die Anfangseinstellung für die RW-Konstruktion von BM Nicht überraschend bedeutet dies und die Verfeinerungseigenschaft (5) die einheitliche Nähe von zwei aufeinanderfolgenden Approximationen von BM, wenn m groß genug ist. Dieses Lemma sorgt für die a. s. Einheitliche Konvergenz der RW-Näherungen in kompakten Intervallen und es ist klar, dass der Grenzprozess das Wiener-Verfahren (BM) mit kontinuierlichen Probenpfaden fast sicher ist. Theorem 1 Die RW-Näherung a. s. Einheitlich konvergiert zu einem Wiener-Prozess in jedem kompakten Intervall. Für irgendwelche und für alle m m 2 (C) haben wir die oben angegebenen Ergebnisse dem Lemma 2. Lemma 3 und Lemma 4 und Theorem 3 in Szabados (1996). Wir erwähnen, dass die hier vorgestellten Aussagen in etwas schärferen Formen gegeben sind, aber sie können leicht aus den Beweisen in der obigen Referenz gelesen werden. 3 Eine wegweisende Annäherung der fraktionalen Brownschen Bewegung Eine nahezu sicher konvergente pfadweise Konstruktion von fBM wurde von Carmona und Coutin (1998) gegeben, die fBM als lineare Funktion eines unendlich dimensionalen Gaußschen Prozesses darstellen. Eine weitere wegweisende Konstruktion wurde von Decreusefond und Stnel 1998 und Decreusefond und Stnel 1999, die im L 2 Sinne konvergiert, gegeben. Diese Konstruktion verwendet diskrete Approximationen der gleitenden Mitteldarstellung von fBM (2). Basierend auf deterministischen Partitionen der Zeitachse. Genauer gesagt, (2) wird durch ein Integral über das kompakte Intervall 0, t ersetzt, aber mit einem komplizierteren Kern, der auch eine hypergeometrische Funktion enthält. Die hier diskutierte Approximation von fBM wird auch eine diskrete Version der gleitenden Mitteldarstellung (2) von fBM sein, aber dyadische Trennwände werden auf der räumlichen Achse von BM aufgenommen und so erhält man zufällige Partitionen auf der Zeitachse. Dies ist asymptotisch eine Skorohod-Typ-Einbettung von verschachtelten RWs in BM. Infolgedessen haben wir anstelle von Integral Summe, und BM wird durch die verschachtelte, verfeinernde Sequenz ihrer RW-Näherungen, die im vorigen Abschnitt diskutiert wurden, ersetzt. Da (2) zweiseitiges BM enthält, brauchen wir zwei solche Sequenzen: eine für die rechte und eine für die linke Halbachse. Von nun an werden wir die folgenden Notationen verwenden: m 0 ist eine ganze Zahl, t 2 2 m. . Bei der Einführung des Kernels ist die mth-Approximation von fBM definitionsgemäß B m (H) (0) 0 und für positive ganze Zahlen k, wobei die Konvention 0 H 12 0 auch für negative Exponenten angewendet wird. Es ist sinnvoll, B m (H) in einer anderen Form zu schreiben, die eine diskrete Version der Integration durch Teile anwendet. Ausgehend von (8) und Umordnen nach B m (tr) erhält man für k 1, dass wir auf diese Weise eine diskrete Version erhalten haben, die man aus (2) mit einer formalen Integration durch Teile erhält (vgl. Lemma 5 unten). Zur Unterstützung der obigen Definition zeigen wir, daß B m (H) Eigenschaften aufweist, die den charakterisierenden Eigenschaften von fBM in einer diskreten Einstellung analog sind. (A) B m (H) ist zentriert (klar aus seiner Definition) und hat stationäre Inkremente. Wenn k 0 und k nichtnegative ganze Zahlen sind, dann ist (b) B m (H) in der folgenden Richtung annähernd selbst ähnlich: Wenn a 2 2 m 0 ist. Wobei m 0 eine ganze Zahl ist, m 0 m. Dann gibt es für jede k nicht-negative Ganzzahl, für die auch ka auch eine ganze Zahl ist. Auf der anderen Seite zeigen Lemma 4 (und Theorem 2) unten, dass B m (H) und B m 1 (H) (und B mn ( H)) sind bei jedem kompakten Intervall gleichmäßig nahe bei beliebiger großer Wahrscheinlichkeit, wenn m groß genug ist (wann). Es könnte in ähnlicher Weise bewiesen werden, dass für eine j. Wobei j 0 eine beliebige ganze Zahl von 2 2 n j 2 2 (n 1) mit einer ganzen Zahl n 0 ist, können die endlichen Dimensionsverteilungen beliebig nahe den endlichen Dimensionsverteilungen von B m n (H) gemacht werden, wenn m groß genug ist. Folglich ist Bm (H) für jede dyadische a j 2 2 m 0 beliebig nahezu selbst ähnlich, wenn m groß genug ist. (C) Für irgendwelche 0lt t 1 ltlt t n. Die Grenzverteilung des Vektors als m ist Gaussian. woher . Diese Tatsache folgt aus Satz 2 (basierend auf Lemma 5) unten, dass der Prozeß B m (H) fast sicher in den Gaußschen Prozeß W (H) in kompakten Intervallen konvergiert. 4 Konvergenz der Annäherung an fBM Zuerst wird gezeigt, dass zwei aufeinanderfolgende Approximationen von fBM, die durch (8) definiert sind. Oder gleichermaßen durch (9). Sind gleichmäßig nah, wenn m groß genug ist, vorausgesetzt, Anscheinend ist die obige RW-Näherung von BM nicht gut genug, um Konvergenz zu haben. Bei der Konvergenz, eine große Abweichung Ungleichung ähnlich Lemma 1 wird eine wichtige Rolle spielen. Ist X & sub1 ;, X & sub2; eine Sequenz von i. d.d. Zufällige Variablen und S r a r X r. Wo nicht alle null sind und dann (siehe z. B. Stroock, 1993, S. 33). Die Summation oben kann sich entweder auf endlich viele oder abzählbar viele Begriffe erstrecken. Wenn also S & sub1 ;, S & sub2 ;,, SN beliebige Summen des obigen Typs sind, kann man folgendes Analogon von Lemma 1 erhalten. Für jedes C gt1 und N & sub1; heißt es daher mit (19) das Ergebnis mit dem Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wo und C gt1 willkürlich sind. (D) Das Maximum von U m, k. Wir teilen die Halbzeile in Intervalle der Länge L. Wo L 4 K. Für Bestimmtheit wählen Sie L 4 K. Abgesehen davon wird dieser Teil ähnlich zu Teil (b) sein. In der Folge verwenden wir die Konvention, dass, wenn die untere Grenze einer Summation eine reelle Zahl x ist. Die Summation beginnt bei x, und ähnlich, wenn die obere Grenze y ist. Die Summe endet bei y. Nach (17) gibt Lemma 3 eine Obergrenze für die maximale Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Approximationen von BM, wenn j 1 ein beliebiger fester Wert ist: mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 3 (jL 2 2 m) 1 C. Wobei C gt1 beliebig ist und m m 1 (C). Dies bedeutet für alle C 3 und mm 1 (C), dass die obige Ungleichung (24) gleichzeitig für alle j 1,2,3 gilt, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens für den anderen Hauptfaktor in (23) Binomial Die Reihen werden wie oben angeführt, und v 1: Im zweiten Fall, wenn das obige Verfahren anscheinend eine Konvergenz hier ergibt (genau wie in Teil (b)) nur wenn: für jedes C 3 und mm 1 (C) mit Ausnahme von Ein Satz von Wahrscheinlichkeit höchstens (K 2 2 m) 1 C. Nun kann man die Ergebnisse der Teile (a) (d) kombinieren, siehe (18). (20). (21). (22). (27) und (28). Um die Aussage des Lemmas zu erhalten. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in den Teilen (a) und (c) schneller ist als die in den Teilen (b) und (d). Beachten Sie insbesondere, dass es einen Faktor m in (b) und (d) gibt, der ein Gegenstück m 12 in (a) und (c) hat. Da in der Aussage dieses Lemmas wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt haben, können die konstanten Multiplikatoren in (a) und (c) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Es ist einfach, die Formel (9) der m-ten Näherung B m (H) von fBM auf reelle Argumente t durch lineare Interpolation zu erweitern, genau wie im Fall der m-ten Approximation B m (t) des gewöhnlichen BM siehe z. B. In Szabados (1996). So seien m 0 und k 0 ganze Zahlen, 0,1 und definieren. Dann haben die resultierenden kontinuierlichen Parameter-Approximationen von fBM B m (H) (t) (t 0) kontinuierliche, stückweise lineare Probenpfade. Mit dieser Definition sind wir bereit, ein Hauptergebnis dieser Arbeit zu nennen. Wo (H, K) und sind die gleichen wie in Lemma 4. (Der Fall ist nach Satz 1 beschrieben) mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens 8 (K 2 2 m) 1 C. Da sowohl B m 1 (H) (t) als auch B m (H) (t) stückweise lineare Probenpfade aufweisen, muss ihre maximale Differenz an den Ecken der Probenpfade auftreten. Sei M m die maximale Zunahme von B m (H) zwischen Paaren von Punkten t k, t k 1 in 0, K: mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Vgl. (31) unten. Ein Abtastweg von B m 1 (H) (t) macht in jedem Intervall t k, t k 1 vier Schritte. Um seine maximale Abweichung von D m ​​zu berechnen, genügt es, seine Veränderung zwischen dem Mittelpunkt und einem Endpunkt eines solchen Intervalls in zwei Schritten von den linken und rechten Endpunkten abzuschätzen: mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsalters höchstens 2 (K 2 2 (M 1)) 1 C. Also mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsereignisses höchstens. Die obige Erläuterung zeigt, daß zugleich die obere Grenze, die wir gesucht haben, mit Ausnahme eines Wahrscheinlichkeitsprüfens höchstens (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C aussieht. Dann kann ein ähnliches Argument verwendet werden, wie im Beweis von Lemma 4. siehe z. B. Teil (a) dort: Damit N K 2 2 m und C gt1 in (12). Und unter Verwendung von (19) erhält man für m 1 mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit höchstens 2 (K 2 2 m) 1 C. Wobei K gt0 und C gt1 beliebig sind. Mit Ausnahme eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit höchstens 8.125 (K 2 2 m) 1 C wobei (H, K) und (H) die gleichen wie in Lemma 4 sind. Denken Sie daran, dass die Konvergenzrate in (31). Wie in den Teilen (a) und (c) des Beweises von Lemma 4. ist schneller als die in den Teilen (b) und (d) dieses Beweises. Abgesehen von konstanten Multiplikatoren hat das Ergebnis von (31) die gleiche Form wie die Ergebnisse von (a) und (c) dort. Da in der Aussage dieses Satzes wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden ersetzt haben, können die konstanten Multiplikatoren von (31) ignoriert werden, wenn m groß genug ist. Deshalb ist auch hier das von Lemma 4 definierte (H, K) geeignet. Daraus kann man also durch das BorelCantelli-Lemma implizieren, daß mit der Wahrscheinlichkeit 1 die Probenpfade von B m (H) (t) gleichmäßig zu einem Prozeß W (H) (t) auf jedem kompakten Intervall 0, K konvergieren. Dann hat W (H) (t) stetige Probenpfade und erbt die in Abschnitt 3 beschriebenen Eigenschaften von B m (H) (t). Es handelt sich um einen zentrierten, selbstähnlichen Prozeß mit stationären Inkrementen. Wie Lemma 5 unten impliziert, ist der so definierte Prozess Gaußscher. Daher ist W (H) (t) ein fBM und durch (33) ist die Konvergenzrate der Näherung diejenige, die im Satz angegeben ist. Das Ziel des nächsten Lemmas, zu zeigen, dass die Integration durch Teile im Wesentlichen gilt für (2), die W (H) (t) darstellen, was zu einer Formel ähnlich (10) führt. Dann folgt das, das durch eine lineare Transformation des Gaußschen Prozesses stochastisch willkürlich gut angenähert werden kann, also ist es auch Gaußsche. Nach dem zweiten Term auf der rechten Seite von (37) wenden wir uns auf den dritten Begriff. Nimm jetzt irgendwelche (0, 0). Da h (s, t) eine kontinuierliche partielle Ableitung w. r.t. S in den Intervallen 1 und, t und nach Satz 1. B m a. s. (35) und (36) zeigt, daß mit diesem ein m existiert, daß Theorem 1 auch impliziert, daß m so gewählt werden kann, daß für den vierten Term in (37) ein ähnliches gilt Schließlich hat Theorem 2 (oder mit einer modifizierten Konstruktion, nach Satz 3 unten) sichergestellt, daß m so gewählt werden kann, daß der erste Term in (37) dieselbe Ungleichung erfüllt: Die letzten vier Formeln beweisen zusammen das Lemma. 5 Verbesserte Bauweise mit Hilfe der KMT-Näherung Die Teile (b) und (d) des Nachweises von Lemma 4 gaben eine schlechtere Konvergenz als die Teile (a) und (c), in denen die Preise am besten vermieden werden können. Der Grund dafür ist eindeutig die relativ schwächere Konvergenzrate der RW-Näherung des gewöhnlichen BM, die in den Teilen (b) und (d) verwendet wurde, aber nicht in den Teilen (a) und (c). Es ist auch klar, dass mit der bestmöglichen KMT-Approximation stattdessen diese Schwäche beseitigt würde und hoffentlich auch die bestmögliche Rate geben würde. Der Preis, den man dafür bezahlen muss, ist das komplizierte und zukunftsabhängige Verfahren, mit dem die KMT-Methode geeignet ist, RWs von BM zu approximieren. Das Ergebnis, das wir von Komls 1975 und Komls 1976 benötigen, ist wie folgt. Angenommen, man möchte ein i. i.d. Sequenz X 1, X 2 von zufälligen Variablen mit einer gegebenen Verteilung, so dass die Teilsummen möglichst nahe an BM liegen. Es sei angenommen, daß E (X k) 0, Var (X k) 1 und die Momentbildungsfunktion E (e uX k) lt für Sei S (k) X 1 X k. K 1 sind die Teilsummen. Wenn BM W (t) (t 0) gegeben ist, so existiert für jedes n 1 eine Folge von bedingten Quantiltransformationen, die auf W (1), W (2), W (n) angewendet werden, so daß man das gewünschte Teil erhält Summe S (1), S (2), S (n) und die Differenz zwischen den beiden Sequenzen ist am kleinsten möglich: Für jedes x gt0, wobei C 0, K 0 positive Konstanten sind, die von der Verteilung abhängen können X k. Aber nicht auf n oder x. Darüber hinaus kann man willkürlich groß sein, indem man ein groß genug C 0 wählt. Hierbei erhält man, wo n 1 beliebig ist. Fixieren Sie eine Ganzzahl m 0 und führen Sie die gleichen Notationen wie in früheren Abschnitten ein:. Dann multiplizieren Sie die innere Ungleichung in (42) mit 2 m und verwenden Sie die Selbstähnlichkeit (1) von BM (mit), um ein geschrumpftes RW (0 k K 2 2 m) aus den entsprechenden dyadischen Werten W (tk) (0 k) zu erhalten K & sub2; 2 m) von BM durch eine Sequenz von bedingten Quantiltransformationen, so daß mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als K & sub0; (K & sub2; 2 m) C & sub0; Für alle m 1 und K gt0. Hier wurde auch (19) benutzt. Dann bedeutet (43) für die Differenz zweier aufeinander folgender Approximationen, die für irgendwelche m 1 und K gt0. Dies ist genau das, was wir brauchen, um die Konvergenzrate in den Teilen (b) und (d) von Lemma 4 zu verbessern. Ersetzen Sie diese KMT-Approximationen in die Definition (8) oder (9) von B m (H) (t k). Auf diese Weise kann man schnellere konvergierende Approximationen von fBM erhalten. Dann ist alles oben in 3 und 4 noch gültig, außer dass man die verbesserte Formel (44) anstelle von Lemma 3 an den Teilen (b) und (d) im Beweis von Lemma 4 verwenden kann. Auf diese Weise, statt (21) Man bekommt für irgendwelche m 1, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als 2 K 0 (K 2 2 m) C 0. Auch durch (44). Anstelle von (24) und (25) hat man die verbesserten Ungleichungen: mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als 2 K 0 (jL 2 2 m) C 0. Wo m 1. Wenn C 0 groß genug gewählt wird, so dass C 0 2 gilt, dann gilt (46) gleichzeitig für alle j 1,2,3, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als (Denken Sie daran, dass wir L 4 K teilweise gewählt haben (D) des Beweises von Lemma 4). Dann verwenden wir dies in Teil (d) von Lemma 4. statt (26) braucht man die Schätzung anstelle von (27) und (28). Die verbesserten Ergebnisse sind wie folgt. Zuerst hat man für jeden Fall m 1 und C 0 groß genug, so daß C 0 2, mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als durch (47) gegeben ist. In dem Fall folgt, daß für irgendwelche m & sub1; und C & sub0; groß genug ist, so daß C & sub0; & sub2; mit Ausnahme eines Satzes von Wahrscheinlichkeit kleiner als durch (47) gegeben ist. Infolgedessen gibt es eine Konvergenz für jedes H (0,1). Da die KMT-Approximation selbst die bestmögliche Rate für die Annäherung des gewöhnlichen BM durch RW hat, kann man vermuten, dass die resultierenden Konvergenzraten im nächsten Lemma und Theorem auch (abgesehen von konstanten Multiplikatoren) für die Annäherung von fBM durch gleitende Mittelwerte eines RWs bestmöglich sind . Beweis Kombinieren Sie die Ergebnisse der Teile (a) und (c) im Nachweis von Lemma 4 und die oben beschriebenen verbesserten Ungleichungen, dh (18). (20). (45). (22) und (48). Und (49). Auch hier ersetzen wir einfach die schnelleren konvergierenden Faktoren durch die langsameren konvergierenden, aber die konstanten Multiplikatoren der schnelleren konvergierenden Begriffe können nicht ignoriert werden, da das Lemma für irgendwelche m 1 angegeben ist. Jetzt können wir die verbesserten Annäherungen von fBM auf reale Argumente erweitern Durch lineare Interpolation, genauso wie bei den ursprünglichen Approximationen, siehe (29). Auf diese Weise erhalten wir kontinuierliche Parameter-Approximationen (t 0) für m 0,1,2 ,, mit stetigen, stückweise linearen Probenpfaden. Jetzt können wir das zweite Hauptergebnis dieser Arbeit angeben. Wo und sind die gleichen wie bei Lemma 6. (In der Definition von in Lemma 6 muss hier der konstante Multiplikator 10 auf 20 geändert werden.) Die Konstanten werden durch die KMT-Näherung (41) mit gewählter C 0 definiert So groß, dass C 0 2. Der Fall ist beschrieben durch (43). Beweis Der Beweis kann der Zeile des Beweises von Theorem 2 mit einer Ausnahme folgen: die konstanten Multiplikatoren in (31) und folglich in (30) können hier nicht ignoriert werden. Darum mußte der Multiplikator von Lemma 6 in der Satzung des Satzes modifiziert werden. Es kann vermutet werden, dass die beste Rate der Annäherung von fBM durch bewegte Mittelwerte von einfachen RWs ist, wobei N die Anzahl der betrachteten Punkte ist. Obwohl es ganz möglich scheint, daß die obige Definition, siehe (8) mit den KMT-Näherungen, diese Konvergenzrate für jedes H (0,1) liefert, aber in Theorem 3 konnten wir diesen Satz nur dann nachweisen, wenn. Eine mögliche Erklärung könnte sein, dass wir in den Teilen (b) und (d) von Lemma 4 die Maxima des Kernels und der Integratorteile getrennt haben. Als Ergebnis konnte die Konvergenzrate, die wir in der Lage waren, zu beweisen, wann dasselbe ist, dass die ursprüngliche KMT-Näherung (43) für gewöhnliches BM ergibt, wobei N K 2 2 m ist. Obwohl in diesem Fall die Probenpfade von fBM glatter sind als die von BM. (Siehe z. B. Decreusefond und Stall, 1998.) Andererseits ist die erhaltene Konvergenzrate schlechter als diese, aber immer noch als die bestmögliche gedacht, wann, die heuristisch durch die zickzackigen Probenpfade von fBM erklärt werden kann in diesem Fall. Referenzen Carmona und Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fraktionale Brownsche Bewegung und das Markow-Eigentum Elect. Comm. Probab Band 3. 1998. pp. 95107 Decreusefond und stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fractional Brownian Motion: Theorie und Anwendungen. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, S. 7586. Decreusefond und stnel 1999 L. Decreusefond. WIE. Stabastische Analyse der fraktionalen Brownschen Bewegung Potenzielle Anal. Band 10. 1999. pp. 174214 Feller 1966 W. Feller Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Bd. II. 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. 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Zitieren von Artikeln () Gaußsche Bewegungsdurchschnitte, Semimartingales und Optionspreise Patrick Cheridito. Institut für Mathematik, ETH Zrich, CH-8092 Zrich, Schweiz Erhalten am 30. Januar 2003. Überarbeitet am 11. Juni 2003. Akzeptiert am 18. August 2003. Am 21. September 2003 verfügbar. Wir bieten eine Charakterisierung der Gaußschen Prozesse mit stationären Inkrementen, die als dargestellt werden können Ein gleitender Durchschnitt in Bezug auf eine zweiseitige Brownsche Bewegung. Für einen solchen Prozeß geben wir eine notwendige und hinreichende Bedingung, um ein Semimartingale in Bezug auf die Filtration zu sein, die durch die zweiseitige Brownsche Bewegung erzeugt wird. Weiterhin zeigen wir, dass diese Bedingung impliziert, dass der Prozess entweder eine endliche Variation oder ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung in Bezug auf ein Äquivalentwahrscheinlichkeitsmaß ist. Als Bewerbung diskutieren wir das Problem der Optionspreise in Finanzmodellen, die von Gaußschen Bewegungsdurchschnitten mit stationären Inkrementen angetrieben werden. Insbesondere erheben wir Optionspreise in einer regelmäßigen Bruchversion des BlackScholes-Modells. Gaußsche Prozesse Bewegliche durchschnittliche Repräsentation Semimartingales Äquivalente Martingal-Maßnahmen Optionspreise 1 Einleitung Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, der mit einer zweiseitigen Brownschen Bewegung ausgestattet ist, dh ein kontinuierlicher, zentrierter Gaußscher Prozess mit Kovarianz Für eine Funktion, die auf der negativen realen Achse null ist und erfüllt ist Für alle t gt0 kann man den zentrierten Gaußschen Prozess mit stationären Inkrementen definieren. Der Zweck dieser Arbeit ist die Untersuchung von Prozessen der Form (1.1) mit Blick auf die Finanzmodellierung. Ist (X t) t 0 ein stochastischer Vorgang, so bezeichnen wir mit der kleinsten Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Wir bezeichnen die kleinste Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Die Struktur des Papiers ist wie folgt Folgt In Abschnitt 2 erinnern wir uns an ein Ergebnis von Karhunen (1950). Die notwendige und hinreichende Bedingungen für einen stationären, zentrierten Gaußschen Prozeß gibt, der in der Form darstellbar ist. In Abschnitt 3 geben wir eine Charakterisierung jener Prozesse der Form (1.1), die - semimartingales sind, und wir zeigen, daß sie entweder endliche Variationsprozesse sind, oder für jedes T (0) gibt es eine äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaßnahme, unter welcher (Y T) t 0, T ist ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung. In Section 4 we apply a transformation introduced in Masani (1972) to establish a one-to-one correspondence between stationary centred Gaussian processes and centred Gaussian processes with stationary increments that are zero for t 0. This allows us to extend Karhunens result to centred Gaussian processes with stationary increments and to show that every process of the form (1.1) can be approximated by semimartingales of the form (1.1). By transferring the results from Section 3 back to the framework of stationary centred Gaussian processes, we obtain an extension of Theorem 6.5 of Knight (1992). which gives a necessary and sufficient condition for a process of the form (1.2) to be an - semimartingale. In Section 5 we discuss the problem of option pricing in financial models driven by processes of the form (1.1). As an example we price a European call option in a regularized fractional BlackScholes model. 2 Stationary Gaussian moving averages Definition 2.1 A stochastic process is stationary if for all , where denotes equality of all finite-dimensional distributions. Definition 2.2 By S we denote the set of functions such that ( t )0 for all t lt0. If S . we can for all , define in the L 2 - sense. It is clear that is a stationary centred Gaussian process. If possible, we choose a right-continuous version. Example 2.3 Let , , for a gt0. Then, S . and is a stationary OrnsteinUhlenbeck process. Remark 2.4 Let S . It can be shown by approximating with continuous functions with compact support, that Hence, t X t is a continuous mapping from to . Moreover, where denotes the L 2 - closure of the linear span of a set of square-integrable random variables. The following theorem follows from Satz 5 in Karhunen (1950) . Theorem 2.5 (Karhunen, 1950 ) Let be a stationary centred Gaussian process such that Hence, exactly the same arguments that show that the standard BlackScholes model is arbitrage-free and complete, can be used to prove that the same is true for the model (5.1). In particular, the unique fair price of a European call option with maturity T and strike price K is given by If is of the form (i) or (ii), then it can easily be regularized: Choose an arbitrary volatility v gt0. By Proposition 4.4. there exists for all gt0 a function of the form (iii) such that and Remark 5.1 (1) Let SI I with (0)0. Obviously, the distribution of the process ( Y t ) t 0, T depends on the whole function . On the other hand, the option price (5.2) depends only on (0). The reason for this is that the option price given by (5.2) is the minimal amount of initial wealth needed to replicate the options pay-off with a trading strategy that can be adjusted continuously in time, and it can be seen from (3.9) that the volatility of the model (5.1) is given by (0). (2) By replacing the function SI in the representation (3.3) by a suitable stochastic process ( t ) t 0, T with values in SI . it should be possible to extend models of the form (5.1) to models with stochastic volatility. Example 5.2 (Regularized fractional BlackScholes model) Let for a positive constant . and c H as in Example 3.3 (b). Then the process is equal to , where is a standard fBm, and the corresponding model (5.1) is a fractional version of the BlackScholes model. For a discussion of the empirical evidence of correlation in stock price returns see, e. g. Cutland et al. (1995) or Willinger et al. (1999) and the references therein. In Klppelberg and Khn (2002) fractional asset price models are motivated by a demonstration that fBm can be seen as a limit of Poisson shot noise processes. However, it follows from Theorem 3.9 (b) that ( B t H ) t 0, T is not a semimartingale with respect to the filtration , and it is well known that it is not a semimartingale in its own filtration either (for a proof in the case see Example 4.9.2 in Liptser and Shiryaev (1989). for a general proof see Maheswaran and Sims (1993) or Rogers (1997) ). It follows from Theorem 7.2 in Delbaen and Schachermayer (1994) that there exists a free lunch with vanishing risk consisting of simple - predictable trading strategies. An early discussion about the existence of arbitrage in fBm models can be found in Maheswaran and Sims (1993). In Rogers (1997) an arbitrage for a linear fBm model is constructed, and it is shown that fBm can be turned into a semimartingale by modifying the function near zero. The arbitrage strategies given in Shiryaev (1998) and Salopek (1998) work for linear and exponential fBm models with . In Cheridito (2003) arbitrage for linear and exponential fBm models is constructed for all . To regularize the fractional BlackScholes model, we can modify the function (5.3) as follows: For v gt0 and d gt0, define It is clear that for given v gt0, Hence, it can be shown as in the proof of Proposition 4.4 that for all gt0 there exists a d gt0 such that On the other hand, since the function v , d is of form (iii), the corresponding model (5.1) is arbitrage-free and complete, and the price of a European call option is given by (5.2) . Acknowledgements This paper grew out of a chapter of the authors doctoral dissertation conducted at the ETH Zrich under the supervision of Freddy Delbaen. The author is thankful to Jan Rosinski and Marc Yor for helpful comments and to Yacine At-Sahalia for an invitation to the Bendheim Center for Finance in Princeton, where a part of the paper was written. Financial support from the Swiss National Science Foundation and Credit Suisse is gratefully acknowledged. References Black and Scholes 1973 F. Black. M. Scholes The pricing of options and corporate liabilities J. Polit. Econom. Volume 81. 1973. pp. 637659 Cheridito 2002 P. Cheridito Sensitivity of the BlackScholes option price to the local path behavior of the stochastic process modeling the underlying asset Proc. Steklov Inst. Math. Volume 237. 2002. pp. 225239 Cheridito 2003 P. Cheridito Arbitrage in fractional Brownian motion models Finance Stochast. Volume 7. Issue 4. 2003. pp. 533553 Cherny 2001 Cherny, A. 2001. When is a moving average a semimartingale Research Report No. 2001-28, MaPhySto, Denmark. Cutland 1995 N. J. Cutland. P. E. Kopp. W. 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In particular, we show that the LxE9vy-driven MA process with fractionally integrated kernel coincides with the MA process with the corresponding (not fractionally integrated) kernel and driven by the corresponding FLP. Article information Dates First available in Project Euclid: 4 December 2006 Permanent link to this document projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152 Digital Object Identifier doi:10.3150bj1165269152 Marquardt, Tina. Fractional LxE9vy processes with an application to long memory moving average processes. Bernoulli 12 (2006), no. 6, 1099--1126. doi:10.3150bj1165269152. projecteuclid. orgeuclid. bj1165269152. Export citation References 1 Barndorff-Nielsen, O. E. and Shephard, N. (2001) Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck based models and some of their uses in financial economics (with discussion). J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 63, 167-241. 2 Benassi, A. Cohen, S. and Istas, J. (2004) On roughness indices for fractional fields. Bernoulli, 10, 357-373.3 Bender, C. 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